RINGKASAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA DAN KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu materi logika matematika ini kami rasa sangat penting karena soal olimpiade matematika SMA dan pembahasannya PDF yang akan kami bahas dalam artikel ini bisa menjadi konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.

Ada setidaknya 11 macam materi soal logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.

Logika Matematika

Pengertian Logika Matematika

Pernyataan

Dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang bisa dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak bisa dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan jika bisa ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak bisa ditentukan sebagai pernyataan.

Pengertian pernyataan dalam logika matematika dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka  dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.

Pernyataan terbuka adalah pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.

Contoh Soal Pernyataan dalam Logika Matematika :

Pernyataan tertutup

60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah).

Kedua pernyataan diatas dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.

Penyataan terbuka

Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).

Ada satu pernyataan lagiyang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataanyang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, simak contoh berikut.

Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).

Negasi

Pengerian Negasi adalah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata tidak benar bahwa untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.

Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi atau ingkaran dari pernyataan A diatas adalah tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.

Konjungsi

Dalam materi logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti ” dan “.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q P ^ q Logika matematika
B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S S S Jika p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.

  • Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
  • Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah

Disjungsi

Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, pengertian disjungsi adalah penggunaan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q P v q Logika matematika
B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S S S Jika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Berikut penjelasannya disjungsi:

  • Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
  • Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
  • Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah.

Implikasi

Pengertian konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.

TabelKebenaran Implikasi

B S S Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S B B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S S B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
  • Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
  • Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar.

Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.

Biimplikasi

Pengertian Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.

Dalam soal logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan hanya jika q..”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q p ó q Logika matematika
B B B P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B S S P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S B S P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S S B P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Agar lebih jelas, berikut pembahasanBiimplikasi secara singkatnya:

  • Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
  • Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar.

Ekuivalensi pernyataan majemuk

Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Pengertian ekuivalensi pernyataan majemuk adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang sama atau ekuivalen.

Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:

  • ~(p^q) = p˅~q
  • ~(p˅q) = p^~q
  • (p⇒q) = p˅~q.

Konvers, invers, dan kontraposisi

Pengertian konvers, invers dan kontraposisi adalah pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.

Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya:

  • Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
  • Maka konversnya adalah q⇒p
  • Inversnya adalah ~p⇒~q
  • Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p.

Kuantor pernyataan

Kuantor pernyataan adalah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x. �

Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]

Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.

Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx.

Ingkaran dari pernyataan kuantor

Sama seperti pernyataan, kuantor adalah memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:

p : semua bunga adalah indah

~p : semua bunga tidaklah indah.

Penarikan kesimpulan

Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.

Modus ponens

Rumus Modus ponens adalah sebagai berikut:

premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.

Contoh:

  • Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
  • Premis 2: Musim semi tiba

Kesimpulan: Bunga mekar.

Modus Tollens

Rumus Modul Tollens:

  • Premis 1: p→q
  • Premis 2: ~q

Kesimpulan: ~p

Contoh:

Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.

Premis 2: Danau tidak membeku

Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.

Silogisme

Rumus silogisme:

  • Premis 1: p→q
  • Premis 2: q→r
  • Kesimpulan: p→r

Contoh Soal Silogisme:

  • Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
  • Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.

Dari sini dapat kita ambil kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.

Nah, sekitan dulu pembahasan sederhana tentang Materi dan Contoh Soal Logika Matematikadiatas. Kami harap apa yang telah kita pelajari pada artikel materi logika matematika ini bisa membantu dalam memahami soal-soal logika Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya. Semoga dapat bermanfaat.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

  1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)

Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah …
A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Pembahasan :
Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :

  p → q
  q → r
————
∴ p → r


misal :
ibu tidak pergi = p
adik senang = q
adik tersenyum = r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, karena kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus menentukan pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.  

Ingat kembali aturan kesetaraan :

  p → r ≡ ~ p ∨ r


p → r : jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum
~ p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E

  • (UJIAN NASIONAL 2006/2007)

Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
3. Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah … 
A. Hari panas
B. Hari tidak panas
C. Ani memakai topi

D. Hari panas dan Ani memakai topi
E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

Pembahasan :
Ingat kembali aturan kesetaraan :

  ~ q ∨ r ≡ q → r


Misal :
Hari panas = p
Ani memakai topi = q
Ani memakai payung = r

Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi :
1. p → q
2. ~ q ∨ r
3. ~ r

Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :
p → q
q → r
————
∴ p → r

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :
p → r
     ~ r   
————
∴  ~ p 
Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. —> opsi B.

Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens :

  p → r
       ~ r
————
∴ ~ p

  1. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)

Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah … 
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

Pembahasan :
Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :
~ semua A adalah B = beberapa A bukan/tidak B
~ beberapa A adalah B = semua A bukan/tidak B
~ tidak ada A yang B = beberapa A adalah B

Berdasarkan aturan di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah Semua bilangan prima bukan bilangan genap. —> opsi B.

  • (UJIAN NASIONAL 2007/2008)

Diketahui permis-premis :
1. Jika Badu rajin belajar dan patuh, maka Ayah membelikan bola basket.
2. Ayah tidak membelikan bola basket
Kesimpulan yang sah adalah …
A. Badu rajin belajar dan patuh.
B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh.
C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh.
D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh.
E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh.

Pembahasan :
Misal :
Badu rajin = a
Badu patuh = b 
Badu rajin belajar dan patuh = p = (a∧b)
Ayah membelikan bola basket = q

p → q
     ~ q
————
∴  ~ p 

~ p  = ~ (a ∧ b) = ~a ∨ ~b
Maka kesimpulan yang sah adalah Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh.
(opsi C)

  • (UJIAN NASIONAL 2008/2009)

Perhatikan premis-premis berikut :
1. Jika saya giat belajar, maka saya bisa meraih juara
2. Jika saya bisa meraih juara, maka saya boleh ikut bertanding.
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah …
A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut tanding
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

Pembahasan :
misal :
saya giat belajar = p
saya bisa meraih juara = q
saya boleh ikut bertanding = r

Kesimpulan yang sah adalah :
  p → q
  q → r
————
∴ p → r —> jika saya giat belajar maka saya boleh ikuttanding.

Ingkaran dari kesimpulan :
~(p → r) = p ∧ ~r
Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding. (opsi A)

  1. UJIAN NASIONAL 2009/2010)

Perhatikan premis-premis berikut :
1. Jika Adi murid rajin, maka ia murid pandai
2. Jika ia murid pandai, maka ia lulus ujian
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah …
A. Jika Adi murid rajin, maka ia tidak lulus ujian
B. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian
C. Adi bukan murid rajin atau dia lulus ujian
D. Jika Adi bukan murid rajin, maka dia tidak lulus ujian
E. Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.

Pembahasan :
misal :
Adi murid rajin = p
Adi murid pandai = q
Adi lulus ujian = r

Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan silogisme adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.

Ingkaran dari kesimpulan :

~(p → r) = p ∧ ~r
Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian. —> opsi B.

  • (UJIAN NASIONAL 2010/2011)

Diketahui premis-premis :
1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
2. Ibu tidak memakai payung
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah …
A. Hari tidak hujan
B. Hari hujan
C. Ibu memakai payung
D. Hari hujan dan ibu memakai payung
E. Hari tidak hujan dan ibu memakai payung

Pembahasan :
misal :
Hari hujan = p
Ibu memakai payung = q
Ibu tidak memakai payung = ~q

Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan modus Tollens adalah :
p → q
      ~q
————
∴ ~p  —> hari tidak hujan —> opsi A.

  • (UJIAN NASIONAL 2011/2012)

Diketahui premis-premis :
1. Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak akan keluar rumah
2. Bona keluar rumah
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …
A. Hari ini hujan deras
B. Hari ini hujan tidak deras
C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak keluar rumah
D. Hari ini tidak hujan deras dan Bona keluar rumah
E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

Pembahasan :
misal :
Hari ini hujan deras = p
Bona tidak akan keluar rumah = q
Bona keluar rumah = ~q

Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan modus Tollens adalah :
p → q
      ~q
————
∴ ~p  —> hari ini hujan tidak deras —> opsi B.

  • (UJIAN NASIONAL 2012/2013)

Diketahui premis-premis :
1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang
2. Jika semua temannya datang maka ia mendapatkan kado
3. Budi tidak mendapatkan kado 
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah …
A. Budi ulang tahun
B. Semua temannya datang
C. Budi tidak ulang tahun
D. Semua teman tidak datang
E. Budi mendapatkan kado

Pembahasan :
misal :
Budi ulang tahun = p
Semua teman datang = q
Budi mendapatkan kado = r
Budi tidak mendapatkan kado = ~r

Kesimpulan dari premis 1 dan 2 berdasarkan silogisme adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> jika Budi ulang tahun, maka ia mendapatkan kado.

Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 berdasarkan modus Tollens adalah :
p → r
      ~r
————
∴ ~p  —> Budi tidak ulang tahun —> opsi C.

  • (UJIAN NASIONAL 2012/2013)

Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah, maka dia senang” setara dengan …
A. Jika Bagus tidak senang, maka dia tidak mendapat hadiah
B. Bagus mendapat hadiah tapi dia tidak senang
C. Bagus mendapat hadiah dan dia senang
D. Bagus tidak mendapat hadiah atau dia tidak senang
E. Bagus tidak senang dan dia tidak mendapat hadiah

Pembahasan :
misal :
Bagus mendapat hadiah = p
Dia senang = q
p → q


Berdasarkan aturan kesetaraan :
(p → q) ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨q

Maka pernyataan yang setara adalah :
1. Jika Bagus tidak senang maka dia tidak mendapat hadiah
2. Bagus tidak mendapat hadiah atau dia senang

Jadi jawaban yang tepat adalah opsi A.

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

A. Fungsi

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan dengan anggota himpunan B. Jadi, fungsi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi.



Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B, maka fungsi f dapat dinotasikan sebagai berikut:
  

https://4.bp.blogspot.com/-2nBPlzSOysA/VQJI5IR2VJI/AAAAAAAAAg4/8AzVB_8bUQg/s1600/fungsi%2Bf(x).png

Aljabar Fungsi

Sebelum membahas komposisi fungsi, mari mengulang lagi tentang sifat-sifat fungsi aljabar.

Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi aljabar yang terdefinisi, maka berlaku sifat-sifat fungsi aljabar berikut.

1. (f + g)(x) =  f(x) + g(x)

2. (f – g)(x) =  f(x) – g(x)

3. (f . g)(x) =  f(x) . g(x)

4. (f /g)(x) =  f(x) / g(x) , g(x) tidak sama dengan 0

5. fn(x) = [f(x)]n

Contoh 1

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 – 2, dan h(x) = 4x.

Tentukan

a. (f +g)(x)

b. (f – g)(x)

c. f.g(x), dan

d. (f/g)(x).

Jawaban:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

                   = (2x + 1)  +  (x2 – 2)

                   = x2 + 2x – 1

b.  (f – g)(x) = f(x) – g(x)

                   = (2x + 1)  –  (x2 – 2)

                   = -x2 + 2x + 3

c.  f.g(x) = f(x) . g(x)

              = (2x + 1) (x2 – 2)

              = 2×3 – 4x + x2 – 2

              = 2×3 + x2 – 4x – 2

d.   f/g(x) = f(x)/g(x)

                = (2x + 1)/(x2 – 2)

B. Fungsi Komposisi

Komposisi Fungsi 


Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C  disebut fungsi komposisi

Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan h(x) = g o f (x) (dibaca: g bundaran f)

Secara grafik, komposisi fungsi di atas digambarkan seperti berikut.

https://1.bp.blogspot.com/-d0s5rFHGrAc/Wez9wn0fgxI/AAAAAAAAAy8/BVSa8TtvnzwDxBxKZq2lIYuvFISeEGo2QCLcBGAs/s1600/Grafik%2Bkomposisi%2Bfg.png

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 2x + 1.

Tentukan:

    a.      (f o g)(x)

    b.      (g o f)(x)

    c.      (f o g)(2)

    d.      (g o f)(6)

Jawaban:

  a. (f o g)(x) = f (g(x))                     = 3 g(x) – 5

                     = 3(2x + 1) – 5

                     = 6x + 3 – 5

                     = 6x – 2

b. (g o f)(x) = g (f(x))

                    = 2 f(x) + 1

                    = 2(3x – 5) + 1

                    = 6x – 10 + 1

                    = 6x – 9

c. (f o g)(x) = 6x – 2

    (f o g)(2) = 6 x 2 – 2

                    = 12 – 2

                    = 10

d. (g o f)(x) = 6x -9

    (g o f)(6) = 6 x 6 – 9

                    = 36 – 9

                    = 27    

Sekarang bagaimana jika menentukan fungsi yang di depan atau di belakang dari komposisi fungsi yang diketahui dan salah satu fungsi pembentuknya juga diketahui?

Misalkan f o g(x) diketahui dan f(x) diketahui, bagaimana menentukan g(x)?

atau

Misalkan f o g(x) diketahui dan g(x) diketahui, bagaimana menentukan f(x)?

Mari kita bahas dengan beberapa contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui (f o g)(x) = 6x + 7 dan f(x) = 2x + 3. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:

Caranya, substitusikan g(x)  ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.

(f o g)(x) = 6x + 7 atau ditulis:

f(g(x)) = 6x + 7

2.g(x) + 3 = 6x + 7

      2.g(x) = 6x + 7 – 3

      2.g(x) = 6x + 4

         g(x) = (6x + 4) /2

         g(x) = 3x + 2

Jadi, fungsig(x) = 3x + 2

C. Fungsi Invers

Jika kita mempunyai fungsi f(x) yang memetakan dari x ke y, maka dapat dituliskan sebagai y = f(x). Namun sebaliknya, jika terdapat suatu fungsi yang memetakan y ke x sehingga ditulis x = f-1(y), maka fungsi ini dinamakan invers fungsi dari fungsi f(x). Invers fungsi f(x) ini dituliskan dalam bentuk f-1(x).

https://4.bp.blogspot.com/-01oBBKDzaUg/We0CZJW7XbI/AAAAAAAAAzI/kZXrMmU6mzIciKhtCwJj9vC6Cixb1rBwQCLcBGAs/s1600/Invers%2BFungsi.png

Perhatikan contoh berikut untuk menjelaskan pengertian invers fungsi di atas.

Misalkan terdapat fungsi f(x) = 2x + 1, untuk domain {0, 1, 2, 3}

Sehingga diperoleh:

f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 5, dan f(3) = 7

Untuk sebaliknya, invers fungsinya dapat digambarkan sebagai berikut.

f-1(1) = 0, f-1(3) = 1, f-1(5) = 2, dan f-1(7) = 3

Dari Bentuk pemetaan di atas, bagaimana kita menentukan rumus fungsi inversnya?

Langkah-langkah menentukan invers fungsi  f(x)

1.Jika kita mempunyai fungsi f(x), nyatakan dulu ke dalam bentuk y sama dengan fungsi x.        

   Misalkan jika kita mempunyai fungsi f(x)=5x + 10, jadikan dahulu y = 5x + 10.

2. Kita ubah bentuk pada hasil 1) menjadi bentuk x dalam fungsi y.

3. Mengubah x menjadi f-1(y)

4. Dengan keidentikan bentuk aljabar,ubahlah y menjadi x.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan berapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 12. Tentukan invers fungsi tersebut.

Jawaban:

f(x) = 2x + 12

   y = 2x + 12

2x = y -12

  x = (y – 12 )/2

  x = y/2 – 6

f-1(y) = y/2 – 6

f-1(x) = x/2 – 6

Jadi, invers fungsi dari f(x) = 2x + 12 adalah f-1(x) =  x/2 – 6.

Berikut ini diberikan contoh menentukan invers fungsi dari bentuk kuadrat dan akar.
Perhatikan langkah-langkahnya secara cermat.

https://3.bp.blogspot.com/-9kM2E9veu3Y/We0Dea-jPBI/AAAAAAAAAzQ/A9jhmqbZHCkWivmVbywTWo9hawQTxsFlACLcBGAs/s400/Fungsi%2BInvers%2Bfungsi-1new.png
https://4.bp.blogspot.com/-lsPEU8EyIU4/We0E_J7Pq6I/AAAAAAAAAzg/lDAYcz-VPvIlJbuGkspHPCj0KVDvA4inwCLcBGAs/s400/invers%2B2.png

https://3.bp.blogspot.com/-x4on3V3mO7k/We0EwHrSSRI/AAAAAAAAAzc/a36jvJTNTHw_qQGjxwYRCOLE_Uu7F0i2ACLcBGAs/s400/invers%2B3.png

  
Bagaimana menentukan Invers fungsi bentuk pecahan aljabar?
Langkah-langkah menentukan invers fungsi pecahan bentuk aljabar sama seperti langkah-langkah di atas.
Simaklah langkah-langkah berikut.

https://2.bp.blogspot.com/-3FboQmLQ0fs/We2cXx77jUI/AAAAAAAAA0I/2wLWc0JRPkk9G8kaWc512sjFScxBBBd2gCLcBGAs/s400/invers%2B4.png

D. Grafik Fungsi

Suatu fungsi f(x) dan inversnya yang berupa f -1 (x) merupakan kebalikan satu dengan lainnya. Kebalikan yang dimaksud dapat dipahami sebagai berikut. Pada fungsi asalnya f(x), elemen xmerupakan input dan y merupakan output, sedangkan pada fungsi inversnya f -1 (x), elemen yberperan sebagai input dan x sebagai output. Sederhananya, invers suatu fungsi membalik input dengan output dari fungsi asalnya. 

Perhatikan gambar berikut.

https://3.bp.blogspot.com/-mFjFydBYpY8/We4YJET_5QI/AAAAAAAAA5M/0n7E9nL2m2kj0i3GXzRfI_HQId9PyrIfQCLcBGAs/s320/grafik.png

        Pada pembelajaran sebelumnya, kalian sudah memahami bahwa suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Selain itu, kalian juga telah mempelajari bagaimana menemukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. Agar kalian ingat kembali cara menemukan rumus fungsi invers, perhatikan langkah berikut ini.

  1. Mengubah fungsi menjadi persamaan y = f (x)
  2. Membentuk x sebagai fungsi y pada langkah pertama dan dimisalkan sebagai f -1 (y)
  3. Mengganti y pada f -1 (y) dengan x untuk mendapatkan f -1 (x) yang merupakan rumus fungsi invers dari fungsi f (x)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN(�

  1. Invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x). Jika diketahui f(x) sebagai berikut :
f(x) = 3x – 2
5x + 8

Dengan x ≠ -8/5.
Fungsi f-1(x) yang tepat adalah ….

A. f-1(x) = -8x + 2
5x – 3
  •  
B. f-1(x) = 8x – 2
5x + 3
  •  
C. f-1(x) = 8x – 2
3 + 5x
  •  
D. f-1(x) = 8x + 2
3 – 5x
  •  
E. f-1(x) = -8x + 2
3 – 5x

  • Pembahasan :
    Langkah pertama adalah mengubah f(x) menjadi y sebagai berikut :
⇒ y = 3x – 2
5x + 8

  • Kemudian, kita tentukan x nya :
    ⇒ y(5x + 8) = 3x – 2
    ⇒ 5xy + 8y = 3x – 2 
    ⇒ 8y + 2 = 3x – 5xy 
    ⇒ 8y + 2 = (3 – 5y)x
⇒ x = 8y + 2
3 – 5y


Selanjutnya kembalikan x menjadi y-1 dan y menjadi x, sehingga kita peroleh inversnya sebagai berikut : 

⇒ y-1 = 8x + 2
3 – 5x
  •  
⇒ f-1(x) = 8x + 2
3 – 5x

  • Cara Cepat : 
    Jika anda mahir dalam menghafal rumus, tak ada salahnya mencoba cara cepat berikut ini. Jika diberikan suatu fungsi berbentuk pembagian sebagai berikut :
f(x) = ax + b cx + d

  1. maka inversnya adalah : 
f-1(x) = -dx + b cx – a

  1. Dari soal diberikan fungsi : 
⇒ f(x) = 3x – 2
5x + 8
  1. Kita ketahui a = 3, b = -2, c = 5, dan d = 8.

    Dengan rumus di atas, maka kita peroleh inversnya sebagai berikut : 
⇒ f-1(x) = -(8)x + (-2)
5x – 3
  1.  
⇒ f-1(x) = -(8x + 2)
-(3 – 5x)
  1.  
⇒ f-1(x) = 8x + 2
3 – 5x
  1. Jawaban : D
  2.  
  3. Diberikan fungsi sebagai berikut :
f(x) = 3x + 4
2x – 1

  • Invers dari fungsi tersebut adalah ….
A. f-1(x) = 2x + 1
3x – 4
  •  
B. f-1(x) = x + 4
2x – 3
  •  
C. f-1(x) = 3x – 4
2x + 1
  •  
D. f-1(x) = 2x + 4
x – 1
  •  
E. f-1(x) = x + 4
2x + 3


Pembahasan :
Sama seperti soal nomor 1, kita dapat menyelesaikan soal kedua ini dengan dua cara.

Cara Pertama :

⇒ y = 3x + 4
2x – 1


Kita tentukan x nya :
⇒ y(2x – 1) = 3x + 4
⇒ 2xy – y = 3x + 4
⇒ 2xy – 3x = 4 + y
⇒ (2y – 3)x = 4 + y

⇒ x = 4 + y
2y – 3


Selanjutnya kita ubah x menjadi y-1 dan y menjadi x sehingga kita peroleh inversnya sebagai berikut :

⇒ y-1 = 4 + x
2x – 3
  •  
⇒ f-1(x) = x + 4
2x – 3


Cara Kedua : 
Cara kedua menggunakan rumus cepat seperti pada soal 1, yaitu : 

f-1(x) = -dx + b cx – a


Dari soal diberikan fungsi : 

⇒ f(x) = 3x + 4
2x – 1

2.Kita ketahui a = 3, b = 4, c = 2, dan d = -1.

Dengan rumus di atas, maka kita peroleh inversnya sebagai berikut : 

⇒ f-1(x) = -(-1)x + 4
2x – 3
  •  
⇒ f-1(x) = x + 4
2x – 3
  1. Jawaban : B

  2.  
  3. Diberikan fungsi sebagai berikut :
f(x) = 2 – 3x
4x + 1
  • Dengan x ≠ -1/4.

    Jika f-1(x) invers dari fungsi f(x), maka f-1(x – 2) adalah ….
A.  4 – x  ; x ≠ 5/4
4x – 5
  •  
B.  -x – 4  ; x ≠ 5/4
4x – 5
  •  
C.  -x + 2  ; x ≠ -3/4
4x + 3
  •  
D.  x  ; x ≠ -3/4
4x + 3
  •  
E.  -x  ; x ≠ -5/4
4x + 5


Pembahasan :
Untuk menjawab soal ini, kita harus mencari invers f(x) terlebih dahulu.

Pertama, anggap f(x) = y sebagai berikut :

⇒ y = 2 – 3x
4x + 1


Kita tentukan x nya :
⇒ y(4x + 1) = 2 – 3x
⇒ 4xy + y = 2 – 3x
⇒ 4xy + 3x = 2 – y
⇒ (4y + 3)x = 2 – y

⇒ x = 2 – y
4y + 3

  • Selanjutnya kita tentukan f-1(x – 2) dengan cara mensubstitusikan x = x – 2 :
⇒ f-1(x – 2) = 2 – (x – 2)
4(x – 2) + 3
  •  
⇒ f-1(x – 2) = 2 + 2 – x
4x – 8 + 3
  •  
⇒  f-1(x – 2) = 4 – x
4x – 5
  • Dengan x ≠ 5/4
  • Jawaban : A
  •  
  • Jika f(x) = 1/(x + 2) dan f-1 invers dari f, maka f-1(x) = -4 untuk nilai x sama dengan ….
A. -2 D. -3
B. 2 E.-1/3
C. -1/2


Pembahasan :
Diberikan fungsi :

⇒ y = 1
x + 2

Dik. a = 0, b = 1, c = 1, d = 2.

Invers fungsinya dapat kita tentukan dengan rumus yang sama seperti pada soal nomor 1 dan 2, yaitu :

Pembahasan Soal Ujian Nasional Fungsi Invers


Dengan rumus di atas, maka kita peroleh inversnya sebagai berikut : 

⇒ f-1(x) = -(2)x + 1
1x – 0
  •  
⇒ f-1(x) = -2x + 1
x


Pada soal diketahui f-1(x) = -4, maka : 

⇒ -4 = -2x + 1
x

⇒ -4x = -2x + 1
⇒ -4x + 2x = 1
⇒ -2x = 1
⇒ x = -1/2


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s